お待たせしました、前回のエントリーで出題した問題の解答編です。前回の問題を読み返すのもアレなので、どういう問題だったかを手短にまとめてみましょう。
- 目の前にある３つの箱の中に１つだけの当たりを推測するゲーム。
- プレイヤーが１つの箱を選ぶと、中身を知っている司会者は残り２個の箱の中からハズレの箱を１つ開き、プレイヤーにその箱はハズレだった事を知らせる。
- その後、司会者はプレイヤーに「箱を選び直しても良い」と告げる。
- この時、プレイヤーは箱を今選んでいるものから残ったもう１つの箱に変えるほうが絶対に良いのだが、その理由は？
普通に考えると、こういうドツボにはまってしまいます。
どの箱だって当たりの確率は３分の１なんだから、今さら変えたって変わらないじゃないか！
この考え方、すごくよく分かります。僕もコレでハマッたクチなので。この考え方を図にすると、下記のようになると思います。あなたが選んだ直後の状態で、すべての箱の当たり確率は３分の１、ですよね。分かります。
上記のような考え方は、別にマチガイではないんです。すべての箱が、当たり確率は３分の１なんですが・・・少し見方を変えてみましょう。箱１つにつき、３分の１の当たり確率。なら、２つなら・・・そう、３分の２ですね。箱を３つすべて開けられるとしたら、３分の３で絶対に当たる。これは当然ですよね。
言い換えると、プレイヤーであるあなたが当たりを引けず、司会者側に残された２つの箱に当たりが入っている確率は、３分の２です。
今までピンと来てなかった方も、そろそろ「ん・・・ん！？」と気づきかけているかもしれませんね。中身を知っている司会者が「当たり確率３分の２である２つの箱の中から、ハズレを1個消す」わけですから、当然３分の２の当たり確率は残り１箱に集約されるわけです。
つまり、最初にあなたが選んだ箱の当たり確率は、司会者が箱を開けた後でも３分の１のままであるのに対し、「あなたが選ばず、司会者も開かなかった箱」の当たり確率は３分の２になるわけです。というわけで、３分の１と３分の２、比べるまでもなく「あなたは箱を変えたほうが、絶対に良い（当たる確率が上がる）」訳です。
以上が解答です。分かりましたか？
・・・
・・・これでもまだピンと来ない、あなた！ 僕の説明も下手なので、もう１つ具体的な例を出しましょう。これまで考えてきたゲームの拡張版です。
- 目の前にある１００個の箱の中に１つだけの当たりを推測するゲーム。
- プレイヤーが１つの箱を選ぶと、中身を知っている司会者は残り９９個の箱の中からハズレの箱を９８個開き、プレイヤーにその箱はハズレだった事を知らせる。
- その後、司会者はプレイヤーに「箱を選び直しても良い」と告げる。
- この時、プレイヤーは箱を今選んでいるものから残ったもう１つの箱に変えるほうが絶対に良いのだが、その理由は？
プレイヤーが最初に当たりを引く確率は１００分の１＝１％で、残りの箱に当たりがある確率は９９％です。その９９％の当たり確率を持つ集団の中から９８個のハズレを消して１つだけ箱を残したら、その箱に当たりがある確率は、当然９９％ですよね。
これなら、かなりの人が直感的に分かるらしいんです、このクイズ。でも、３個だと直感的にピンと来にくい。どちらも同じことをしてるんですけども、数字が少し違うだけで難易度がこうも違うのか！ と驚いたので、紹介させていただきました。お楽しみいただければ幸いでございます、ハイ。
ちなみに、このクイズはこれでも若干難易度を下げてあります。数学大得意！ と喧伝して憚らないような人には、ゲームのルールを説明したあと「箱を選びなおすか、選び直さないか？」と質問してあげると、たっぷり悩んでもらえると思いますよ。
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